Рекомендуем вам также следующие ресурсы по темам, связаным с домами - строительство, недвижимость, дизайн интерьера :




 Новостройки и новые жилищные комплексы, обзоры

 



ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

 
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ — раздел механики, изучающий вызванные физическими воздействиями упругие деформации в твердом теле и возникающие при этом внутренние силы, как в состоянии покоя, так и в состоянии движения тела.Если ограничиться рассмотрением только тел, имеющих форму бруса (балка, стойка, вал и т. п.), то формально перечисленные выше задачи относятся к сопротивлению материалов, однако имеются существенные различия, которые заключаются, прежде всего, в исходных предпосылках и методах решения задач.Исходные предпосылки в теории сопротивления материалов, например закон плоских сечений при изгибе, более или менее оправдываются опытом в том случае, когда тело имеет форму бруса (стержня). Поэтому сопротивление материалов не может решать задачи на отыскание напряженного и деформированного состояния тела, если оно отлично от обычного стержня и представляет собой, например, пластинку, оболочку и т. п. (см. Тонкая пластинка, Оболочка).
 
Основные предпосылки теории упругости отличаются достаточной широтой и не ограничиваются такой формой тела, как стержень. Принятию более общих предпосылок в теории упругости соответствуют и более общие методы решения задач, их относительной строгости по сравнению с методами теории сопротивления материалов (если последние в рассматриваемой задаче вообще применимы). Теория упругости дает более точное решение поставленной задачи; это не исключает наличия в теории упругости различных приближенных методов, что обычно составляет т.н. прикладную теорию упругости, в отличие от математической теории упругости, в которой задачи решаются без специальных (дополнительных) допущений.
 
В основе классической теории упругости (называемой также линейной теорией упругости) лежит представление об упругом и линейно-деформируемом теле (см. Упругость). Такое тело наделяется наиболее простой, а именно, линейной зависимостью между слагающими деформаций и напряжениями (обобщенный закон Гука). Последнее в свою очередь означает, что если внешние силы, одновременно и статически прикладываемые к упругому телу, возрастают (или убывают) в известной пропорции, то в той же пропорции возрастают (или убывают) напряжения, деформации и перемещения в любой точке тела.
 
Диаграмма растяжения-сжатия для такого материала в обычных координатах «напряжение — деформация» представляет собой прямую наклонную линию (OA), проходящую через начало координат. Если процесс медленной разгрузки происходит, следуя той же кривой ВАО, причем в обратном порядке проходятся те же состояния, что и при нагрузке по ОАВ, а график процесса возвращается в начальную точку О, то такое тело принято называть нелинейно-упругим. Если при медленной разгрузке график процесса не возвращается в исходную точку, то тело считается упругопластическим. Законы образования деформаций в нелинейно-упругом теле изучаются нелинейной теорией упругости.В случае конечных деформаций основные уравнения теории упругости, даже при наличии линейно-упругого тела, оказываются нелинейными (отсюда понятие о геометрической нелинейности). В случае конечных деформаций и нелинейного упругого тела имеем дело с нелинейностью физической и геометрической.
 
Основной предпосылкой всех ветвей теории упругости (линейная, нелинейная), как следует из самого наименования науки, является наделение тела свойством идеальной упругости, т. е. полной обратимости деформаций. Общей предпосылкой ко всем ветвям механики деформируемого тела или сплошных сред (сопротивление материалов, теория упругости, теория пластичности, строительная механика и т. д.) является представление о сплошном строении упругого тела. По этой гипотезе тело сплошное, т. е. непрерывное до деформации, остается непрерывным (без пустот и разрывов) и после деформации; непрерывным остается любой объем тела и элементарный (микрообъем) в том числе. В связи с этим деформации и перемещения точек тела считаются непрерывными функциями координат.
 
В большинстве задач современной теории упругости считается, что материал однороден и наделен свойствами шаровой изотропии, т. е. физические свойства материала по всем направлениям внутри материала одинаковы. В классической теории упругости исключается из рассмотрения влияние для любого мгновения всех напряжений тела, имевших место в предыдущие моменты времени (что и вытекает из понятия идеальной упругости тела). В противном случае (случай упругого гистерезиса и т. п.) следовало бы обратиться к наследственной теории упругости (см. Ползучесть).Выводы теории упругости широко используются в многочисленных областях техники. В сейсмологии по результатам изучения распространения упругих волн в земной коре вычисляют координаты очага землетрясений.
 
В строительстве выводы и методы теории упругости применяются для вычисления напряжений и деформаций в инженерных сооружениях (туннели, фундаментные плиты, оболочки, массивные плотины и т. п.). В машиностроении методами теории упругости определяются напряжения в лопатках водяных и паровых турбин, в элементах шарикоподшипников и других сложных деталях машин. В геологии используют теории упругости для определения давления горных пород, деформаций земной коры и т. п.В классической теории упругости принимаются следующие вполне приемлемые для всех инженерных сооружений (исключая отдельные случаи точного приборостроения и т. п.) допущения геометрического характера: а) перемещения тела малы по сравнению с его линейными размерами; б) относительные удлинения и относительные сдвиги в материале малы по сравнению с единицей; в) углы поворота тела также малы по сравнению с единицей, а квадраты углов поворота малы по сравнению с относительными удлинениями и сдвигами.
 
Основные уравнения теории упругости. Уравнения теории упругости составляются в той или иной (в зависимости от геометрии наружной и внутренней поверхностей исследуемого тела), наиболее удобной в каждом отдельном случае, прямолинейной координатной или криволинейной системе (декартовая, цилиндрическая, сферическая, триортогональная системы криволинейных координат и т. д.). Составленные в одной координатной системе уравнения могут быть легко переписаны и в другой системе, с использованием известных формул преобразования координат; приводимые ниже уравнения записаны в прямолинейной декартовой системе координат (хх, х2, х3).
 
Математический аппарат классической теории упругости сводится к следующим основным 15 уравнениям, справедливым для каждой точки внутри тела, и к трем уравнениям, справедливым для точек на границе тела. Для каждой точки внутри тела могут быть написаны три дифференциальные уравнения равновесия, связывающие компоненты тензора напряжений по трем взаимно-перпендикулярным площадкам, мысленно проведенным через рассматриваемую точкуДля каждой точки внутри тела могут быть написаны шесть дифференциальных геометрических соотношений между проекциями (компонентами) смещения рассматриваемой точки и компонентами тензора деформации  (компоненты деформации с двумя одинаковыми индексами).  Если тело обладает упругой анизотропией, то закон Гука содержит не две упругие постоянные (G и JLI), как в случае изотропного тела, а больше (но не более 21).Кроме того, для каждой точки на границе тела, направляющие косинусы нормали (v) к наружной поверхности тела соответственно cos (хх v) = lu cos (х2 v) = l2, cos (xs v) = Z3, могут быть записаны три граничные уравнения, связывающие компоненты внешней (поверхностной) нагрузки (Pijj Рз.) с компонентами напряжений внутри тела возле его границы.Совокупность указанных уравнений (трех статических, и пяти геометрических, шести физических) совместно с последними тремя граничными условиями (в которых отражается конкретная геометрия наружной поверхности тела и конкретные поверхностные нагрузки) дает принципиальную возможность решить задачу о напряженном и деформированном состоянии упругого тела.
 
Основные 15 уравнений теории упругости могут быть преобразованы последовательно, выражая компоненты напряжений через компоненты деформации (с помощью физических уравнений) и далее, компоненты деформации — через компоненты смещения. В результате остаются три уравнения Ляме, содержащие только компоненты смещения. Уравнения Бельтрами совместно с тремя дифференциальными уравнениями равновесия и граничными условиями полностью решают задачу теории упругости о напряженном состоянии заданного упругого тела. Такое решение задачи теории упругости составляет так называемый метод сил.
 
По аналогии со строительной механикой стержневых систем, в теории упругости возможен и т. н. смешанный метод, когда за основные (первоначальные) неизвестные принимаются некоторые из компонентов перемещений и некоторые из компонентов напряжений. Значение напряжений и деформаций в каждой точке тела позволяет судить о прочности тела при заданных нагрузках и об эксплуатационных качествах изделий. Если в результате решения задачи теории упругости окажется, что в каких-либо точках тела напряжения превосходят предел упругости материала, то для вычисления действительных значений напряжений и деформаций в этом теле следует пользоваться законами теории пластичности.
 
 
Лит. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 4 изд., 1VL., 1954; Галеркин В. Г., Собрание сочинений, т. 1—2, М., 1952 —53; Лехпицкий С. Г., Теория упругости анизотропного тела, М.—Д., 1950; Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, пер. с англ., 2 изд., М., 1955, его же, Пластинки и оболочки, пер. с англ., М.—Л., 1948, Математическая теория упругости, пер. с англ., М.— Л., 1935,, Теория упругости, Л.—М., 1939; Гекслер И. В., Статика упругого тела, пер. с нем., вып. 2, Л.—М., 1934; Филоненко-Вородич М. М., Теория упругости, 4 изд., М., 1959; Гибкие пластинки и оболочки, М., 195 6; Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек, М., 1953, Новожилов В. В., Основы нелинейной теории упругости, Л.—М., 1948, Кутилин Д. И., Теория конечных деформаций, М.— Л., 1947; Лурье А И., Пространственные задачи теории упругости, М., 1955, Основы теории упругости, пластичности и ползучести, М., 1901.
 
 

« ТЕОРИЯ СООРУЖЕНИЙ ТЕПЛОВАЯ СЕТЬ »


Дизайн-проект от Архитектурного бюро Глушкова